LA PARADOJA DE RUSSELL
[Encarte a la U.D. 4 (“Lógica formal e informal”) en su apartado 4.3.3.: “Las paradojas”]
A principios del siglo XX, Bertrand Russell (1872-1970) y su maestro, Alfred North Whitehead (1861-1967), intentaron derivar toda la matemática de las ideas básicas e irrefutables de la lógica. El resultado del trabajo de discípulo y maestro sobre los fundamentos de las matemáticas fue la obra Principia Mathematica (1910), considerada por muchos como un “ejemplo sobresaliente de obra maestra ilegible”[1] y, por muy pocos, como “la obra maestra de la lógica matemática”.
La implacable exactitud de los Principia pudo más que la paciencia de los lectores: poquísimos decidieron comprar una publicación tan horrorosa. "Ganamos cada uno menos de 50 libras en 10 años", confesó Russell. Pero lo peor es que no está claro que Russell y Whitehead hubieran logrado su misión de reducir todas las matemáticas a la lógica. Lo que estaba claro era que habían producido una obra que sondeó los fundamentos de las matemáticas hasta profundidades inigualadas.
En sus investigaciones sobre los fundamentos lógicos de las matemáticas, Russell examinó las relaciones entre colecciones de cosas. Pertenecer a un conjunto parece algo trivial. Pero, al avanzar un poco, podemos observar que los miembros de un conjunto pueden ellos mismos ser conjuntos. El hecho de que un conjunto pueda tener como miembros a conjuntos planteó a Russell una curiosa pregunta: ¿puede un conjunto contenerse a sí mismo? “Me parecía que una clase [conjunto] a veces es y a veces no es miembro de sí mismo”, respondió el propio Russell.
Estas reflexiones, tan ingenuas e inocentes, tomaron un giro amenazador cuando Russell decidió considerar el conjunto de todos aquellos conjuntos que no son miembros de ellos mismos. Esto es, reunió todos los conjuntos que no son miembros de ellos mismos en un enorme conjunto nuevo (lo llamaremos R). Y ahora viene la pregunta que conmovió los fundamentos lógicos de las matemáticas: ¿Es R miembro de sí mismo? Evidentemente, sólo puede haber dos respuestas a esta pregunta: sí o no. Lo peculiar del asunto consiste en que cada alternativa lleva a su opuesta y se da una contradicción. Es lo que hoy llamamos “LA PARADOJA DE RUSSELL”.
Todo esto puede parecer irrelevante, pero si recordamos que el objetivo de la obra de Bertrand Russell era edificar todas las matemáticas sobre fundamentos lógicos, resultaba que su paradoja ponía en peligro este programa. La conmoción que produjo la paradoja no sólo afectó a Russell, sino que otros también se sintieron desalentados. En 1902, próximo a publicar su monumental obra, Los Fundamentos de Aritmética, el lógico alemán Gottlob Frege (1884-1925) recibió una carta de Russell en la que le planteaba “la paradoja del barbero”. Frege pretendía construir la aritmética y toda la matemática a partir de principios lógicos, y, en su programa, la teoría de conjuntos servía de base a toda la matemática. Inmediatamente reconoció que la paradoja asestaba un golpe mortal a su intento: “Con nada más indeseable puede enfrentarse un científico que con deshacerse de sus fundamentos después de terminar su obra. Me ha puesto en esta situación una carta de Mr. Bertrand Russell cuando estaba a punto de mandar mi obra a la imprenta”.
Os propongo el siguiente ejemplo sobre la paradoja[2]:
Bucéfalo pertenece al conjunto de los caballos (CABALLOS), por ser un caballo.
El conjunto de los caballos no pertenece al conjunto de los caballos, ya que el conjunto de los caballos no es un caballo.
Así pues, 'Bucéfalo ∈ CABALLOS', pero 'CABALLOS ∉ CABALLOS'. Consideremos el conjunto que tiene como elementos a los conjuntos con más de siete elementos (MÁS-SIETE). El conjunto de los filósofos (FILÓSOFOS) es un elemento de MÁS-SIETE. En cambio, el conjunto formado por los hermanos Marx (MARX) no pertenece a MÁS-SIETE. Así pues, 'FILÓSOFOS ∈ MÁS-SIETE', pero 'MARX ∉ MÁS-SIETE'. Nos podemos preguntar si MÁS-SIETE es un elemento de MÁS-SIETE. La respuesta parece ser afirmativa, ya que el conjunto de MÁS-SIETE tiene más de siete elementos, por lo que es un elemento de MÁS-SIETE. Es decir, 'MÁS-SIETE ∈ MÁS-SIETE'. Sea RUSSELL el siguiente conjunto: los elementos de RUSSELL son conjuntos que tienen la propiedad de no ser elementos de sí mismos. Por ejemplo, hemos visto que el conjunto CABALLOS tiene la siguiente propiedad: CABALLOS ∉ CABALLOS. Por lo tanto, CABALLOS ∈ RUSSELL. Ahora nos preguntamos: ¿RUSSELL ∈ RUSSELL? Supongamos que sí. Si RUSSELL es un elemento de RUSSELL, entonces, por la definición de RUSSELL, establecemos que RUSSELL no es un elemento de RUSSELL. Supongamos que no. Si RUSSELL no pertenece a RUSSELL, entonces RUSSELL cumple la condición para ser elemento de RUSSELL. Por lo tanto, RUSSELL pertenece a RUSSELL. Por lo que llegamos a la siguiente paradoja: RUSSELL ∈ RUSSELL si y sólo si RUSSELL ∉ RUSSELL. Aún tengo otro ejemplo, esta vez desde el mundo de la pintura:
Un experto en arte clasifica todas las pinturas del mundo en dos grupos mútuamente excluyentes. Un primer grupo, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas. Por ejemplo, un cuadro de una habitación en la que en la pared del fondo cuelga un pequeño cuadro de la habitación.
El segundo grupo, constaría de todos los cuadros que no incluyen una imagen de sí mismos. Llamaremos a estos cuadros “pinturas de Russell”. P.e., La Gioconda.
El experto en arte monta una exposición que incluye todas las “pinturas de Russell”. Orgulloso por su logro, el experto encarga a un artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos. Cuando el cuadro está terminado, el artista lo titula Todas las pinturas de Russell del mundo. El galerista examina el lienzo cuidadosamente y descubre un pequeño fallo: junto al cuadro de La Gioconda hay una representación de Todas las pinturas de Russell del mundo. Esto quiere decir que Todas las pinturas de Russell del mundo es un cuadro que incluye una imagen de sí mismo, y, por consiguiente, no es una “pintura de Russell”. En consecuencia, no pertenece a la exposición y ciertamente no debería estar colgado en la sala. El experto pide al artista que borre la pequeña representación.
El artista la borra y vuelve a mostrar el cuadro al experto. Tras examinarlo, éste se da cuenta de que hay un nuevo problema: la pintura Todas las pinturas de Russell del mundo ahora no incluye una imagen de sí misma y, por tanto, es una “pintura de Russell” que pertenece a la exposición. En consecuencia debe ser pintada como colgada en la gran sala no vaya a ser que la obra no incluya todas las pinturas de Russell. ¡El experto vuelve a llamar al artista y le pide que añada a la obra la imagen de Todas las pinturas de Russell del mundo! Otra vez estamos al principio de la historia. El artista y el experto han chocado con la paradoja de Russell.
El enunciado de la paradoja era claro, pero no su solución. Tras años de intentos infructuosos, los lógicos acabaron por zanjar la cuestión estipulando que un conjunto que se contenga a sí mismo realmente no es un conjunto. Lo razonable de esta solución se puede ilustrar con nuestro ejemplo de los cuadros: si Todas las pinturas de Russell del mundo contuvieran una imagen de sí mismas, entonces examinando detenidamente esa imagen, veríamos un pequeño cuadro de Todas las pinturas...Y dentro de éste habría otro. Y así continuaríamos en un ver infinito. Evidentemente, esta pintura nunca podría pensarse. Russell escribió al respecto: “lo que encierra a todos los miembros de una colección no debe él mismo ser miembro de una colección”.
Si os apetece pensar un rato, os propongo la paradoja de Russell expresada en términos más cotidianos, es decir, como la recibió Frege[3]: “el barbero de esta ciudad, que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo?”
LA 'SOLUCIÓN', EN CLASE.
[3] La carta de la que ya hemos hablado, en la que le planteaba la paradoja del barbero.
